Podstawy kryptografii krzywych eliptycznych: ECDSA i algorytm Schnorra w świecie cyfrowego zaufania

Kryptografia, jako dziedzina nauki o bezpiecznej komunikacji w obecności osób trzecich, odgrywa fundamentalną rolę w cyfrowym świecie, w którym obecnie żyjemy. Od zabezpieczania transakcji finansowych, przez uwierzytelnianie tożsamości w sieci, po zapewnienie integralności danych przesyłanych przez Internet, podpisy cyfrowe są jednym z kluczowych mechanizmów gwarantujących zaufanie i niezawodność. W istocie, są one cyfrowym odpowiednikiem tradycyjnego podpisu odręcznego, ale z nieporównywalnie wyższym poziomem bezpieczeństwa i niemożliwością podrobienia. Zapewniają nie tylko autentyczność nadawcy, ale także integralność samego komunikatu, upewniając, że wiadomość nie została zmieniona po jej podpisaniu.

W sercu wielu współczesnych protokołów bezpieczeństwa leżą zaawansowane algorytmy kryptograficzne, a wśród nich szczególnie wyróżniają się algorytmy podpisu cyfrowego bazujące na krzywych eliptycznych, znane jako Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) oraz jego nowszy i coraz bardziej wpływowy odpowiednik, algorytm Schnorra. Oba te algorytmy wykorzystują złożoność problemu logarytmu dyskretnego na krzywych eliptycznych, co pozwala na generowanie silnych zabezpieczeń przy stosunkowo krótkich kluczach i sygnaturach w porównaniu do algorytmów bazujących na RSA czy Diffe-Hellmanie, które opierają się na problemie faktoryzacji dużych liczb pierwszych. Zrozumienie niuansów, zalet i ograniczeń każdego z tych algorytmów jest kluczowe dla inżynierów bezpieczeństwa, programistów blockchain, architektów systemów rozproszonych oraz każdego, kto chce zgłębić podstawy bezpiecznego cyfrowego świata.

Podstawy kryptografii krzywych eliptycznych (ECC)

Zanim zagłębimy się w specyfikę ECDSA i Schnorra, niezbędne jest ugruntowanie wiedzy na temat kryptografii krzywych eliptycznych (ECC), ponieważ stanowi ona matematyczną podstawę dla obu tych schematów podpisu cyfrowego. Kryptografia krzywych eliptycznych to rodzaj kryptografii klucza publicznego, której bezpieczeństwo opiera się na trudności rozwiązania problemu logarytmu dyskretnego na krzywych eliptycznych (ECDLP). W porównaniu do tradycyjnych algorytmów, takich jak RSA, ECC oferuje porównywalny poziom bezpieczeństwa przy znacznie krótszych kluczach, co przekłada się na mniejsze zużycie zasobów obliczeniowych i szybsze operacje kryptograficzne. Jest to szczególnie cenne w środowiskach o ograniczonych zasobach, takich jak urządzenia mobilne czy Internet Rzeczy (IoT), a także w systemach o wysokiej przepustowości, na przykład w sieciach blockchain.

Co to jest krzywa eliptyczna?

Matematycznie, krzywa eliptyczna to zbiór punktów (x, y) spełniających pewne równanie sześcienne. Najczęściej używaną formą jest równanie Weierstrassa:
y² = x³ + ax + b
gdzie a i b są stałymi, a także 4a³ + 27b² nie może być równe zeru (aby uniknąć osobliwości). W kontekście kryptografii, nie interesują nas krzywe eliptyczne nad liczbami rzeczywistymi, które tworzą gładkie, ciągłe kształty, ale raczej krzywe eliptyczne nad ciałami skończonymi (finite fields). Oznacza to, że wszystkie operacje na współrzędnych punktów są wykonywane modulo pewna duża liczba pierwsza p (dla ciał pierwszych Zp) lub modulo wielomian nierozkładalny (dla ciał binarnych Z2m). Kryptografia opiera się zazwyczaj na krzywych nad ciałami pierwszymi ze względu na prostszą implementację i lepsze zrozumienie bezpieczeństwa.

Operacje na punktach krzywej eliptycznej

W kryptografii ECC definiuje się operacje na punktach krzywej eliptycznej, które są analogiczne do dodawania i mnożenia w tradycyjnej arytmetyce.

1. Dodawanie punktów (Point Addition): Gdy dodajemy dwa różne punkty P i Q na krzywej eliptycznej, R = P + Q, wynikowy punkt R jest uzyskiwany przez narysowanie linii prostej przechodzącej przez P i Q, znalezienie trzeciego punktu przecięcia tej linii z krzywą (oznaczmy go R’), a następnie odbicie R’ względem osi X. Jeśli P i Q są tym samym punktem, wtedy linią jest styczna do krzywej w punkcie P.
2. Mnożenie skalarne (Scalar Multiplication): Jest to kluczowa operacja w kryptografii krzywych eliptycznych. Oznacza wielokrotne dodawanie punktu do samego siebie. Np. kP oznacza P + P + … + P (k razy). Jest to operacja, która jest łatwa do wykonania w jednym kierunku (biorąc k i P, łatwo obliczyć kP), ale ekstremalnie trudna do odwrócenia (biorąc P i kP, bardzo trudno znaleźć k). To właśnie ta asymetria stanowi podstawę bezpieczeństwa ECDLP.

Wartość k w mnożeniu skalarnym jest naszym kluczem prywatnym, a punkt kP jest naszym kluczem publicznym. Punkt P jest specjalnym, wspólnie uzgodnionym punktem bazowym (generatorem) na krzywej.

Kluczowe właściwości dla bezpieczeństwa

• Trudność ECDLP: Problem logarytmu dyskretnego na krzywych eliptycznych (ECDLP) polega na znalezieniu liczby całkowitej k, gdy dane są dwa punkty P i Q = kP na krzywej eliptycznej. Dla odpowiednio dużej krzywej (z wystarczającą liczbą punktów) i wybranej liczby pierwszej, problem ten jest obliczeniowo niewykonalny dla wszystkich znanych algorytmów, co gwarantuje bezpieczeństwo.
• Rozmiar klucza: Dla porównywalnego poziomu bezpieczeństwa, klucze ECC są znacznie krótsze niż klucze RSA. Na przykład, 256-bitowy klucz ECC oferuje poziom bezpieczeństwa zbliżony do 3072-bitowego klucza RSA, co znacznie zmniejsza wymagania obliczeniowe i pamięciowe.

Wybór odpowiedniej krzywej eliptycznej jest niezwykle ważny. Standardy takie jak SECP (Standards for Efficient Cryptography), NIST (National Institute of Standards and Technology) czy Brainpool definiują bezpieczne i wydajne krzywe, takie jak szeroko stosowana secp256k1 (używana m.in. w Bitcoinie) czy secp384r1.

Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)

Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) to jeden z najpowszechniej stosowanych algorytmów podpisu cyfrowego w technologii blockchain, protokołach SSL/TLS, standardach bezpieczeństwa PGP oraz wielu innych aplikacjach cyfrowych. Jest to adaptacja algorytmu Digital Signature Algorithm (DSA) do kontekstu kryptografii krzywych eliptycznych. Algorytm ten został po raz pierwszy zaproponowany w 1992 roku, a w 1999 roku stał się standardem NIST. Jego szerokie zastosowanie wynika z efektywności, kompaktowych rozmiarów sygnatur oraz solidnych podstaw matematycznych.

Generowanie kluczy ECDSA

Proces generowania kluczy dla ECDSA jest stosunkowo prosty i bezpośrednio wynika z zasad ECC:

1. Wybór parametrów krzywej: Najpierw wybiera się zestaw parametrów krzywej eliptycznej:
   • Krzywa eliptyczna (np. secp256k1).
   • Liczba pierwsza p, definiująca ciało skończone.
   • Punkt bazowy (generator) G na krzywej, który ma duży rząd (liczbę punktów, które można wygenerować przez mnożenie skalarne tego punktu, zanim wróci się do punktu w nieskończoności).
   • Rząd n punktu G.

   Te parametry są publiczne i uzgodnione przez wszystkich uczestników systemu.

2. Generowanie klucza prywatnego: Użytkownik losowo wybiera bardzo dużą liczbę całkowitą d jako swój klucz prywatny. Klucz ten musi być z zakresu [1, n-1]. Ważne jest, aby d było prawdziwie losowe i nigdy nie zostało ujawnione.
3. Generowanie klucza publicznego: Klucz publiczny Q jest obliczany przez mnożenie skalarne punktu bazowego G przez klucz prywatny d: Q = dG. Punkt Q jest parą współrzędnych (x, y) na krzywej eliptycznej.

Para (d, Q) stanowi parę kluczy użytkownika. Klucz prywatny d jest tajny, natomiast klucz publiczny Q jest jawny i może być udostępniony innym do weryfikacji podpisów.

Proces podpisywania wiadomości (sygnatura ECDSA)

Aby podpisać wiadomość m za pomocą klucza prywatnego d, wykonuje się następujące kroki:

1. Hashowanie wiadomości: Najpierw oblicza się skrót (hash) wiadomości m za pomocą funkcji skrótu kryptograficznego (np. SHA-256). Wynikiem jest liczba całkowita h. Jeśli h jest dłuższe niż n (rząd punktu G), zazwyczaj jest przycinane.
2. Generowanie efemerycznego klucza (nonce): Losowo wybiera się bardzo dużą liczbę całkowitą k, która jest efemerycznym kluczem prywatnym (tzw. „nonce” – number used once). k musi być z zakresu [1, n-1] i co najważniejsze, musi być unikalne dla każdego podpisu. Nigdy nie wolno używać tego samego k dwukrotnie ani generować go w sposób przewidywalny.
3. Obliczanie punktu efemerycznego: Oblicza się punkt R = kG na krzywej eliptycznej.
4. Obliczanie pierwszej części sygnatury (r): Współrzędna x punktu R (x_R) jest brana jako pierwsza część sygnatury, r. Jeśli x_R = 0, proces należy powtórzyć od kroku 2 z nowym k. Oblicza się r = x_R mod n.
5. Obliczanie drugiej części sygnatury (s): Oblicza się drugą część sygnatury, s, za pomocą wzoru:
   s = (h + r * d) * k^-1 mod n
   gdzie k^-1 jest odwrotnością modularną k modulo n.
   Jeśli s = 0, proces należy powtórzyć od kroku 2 z nowym k.

Podpis składa się z pary liczb całkowitych (r, s).

Proces weryfikacji sygnatury ECDSA

Aby zweryfikować podpis (r, s) dla wiadomości m, używając klucza publicznego Q, wykonuje się następujące kroki:

1. Sprawdzenie zakresu sygnatury: Upewnia się, że r i s są liczbami całkowitymi z zakresu [1, n-1]. Jeśli nie, sygnatura jest nieważna.
2. Hashowanie wiadomości: Oblicza się skrót h wiadomości m, dokładnie tak samo, jak podczas podpisywania.
3. Obliczanie odwrotności modularnej s: Oblicza się s^-1 mod n.
4. Obliczanie współczynników u1 i u2:
   u1 = h * s^-1 mod n
   u2 = r * s^-1 mod n
5. Obliczanie punktu kontrolnego: Oblicza się punkt C = u1 * G + u2 * Q na krzywej eliptycznej.
6. Weryfikacja: Porównuje się współrzędną x punktu C (x_C) z wartością r sygnatury. Jeśli x_C mod n = r, sygnatura jest ważna. W przeciwnym razie jest nieważna.

Matematyczna poprawność weryfikacji wynika z podstawiania:
C = u1 * G + u2 * Q
C = (h * s^-1) * G + (r * s^-1) * (dG)
C = (h + r * d) * s^-1 * G
Ponieważ s = (h + r * d) * k^-1, to s * k = h + r * d, więc (h + r * d) = s * k.
Podstawiając to do równania na C:
C = (s * k) * s^-1 * G
C = kG
Tak więc, C = R, co oznacza, że ich współrzędne x powinny być równe, jeśli podpis jest prawidłowy.

Zalety i wady ECDSA

Zalety ECDSA:

• Powszechna adopcja: ECDSA jest powszechnie stosowany i dobrze ugruntowany w standardach branżowych, w tym w TLS/SSL, PGP, SSH, a co najważniejsze, jest fundamentalnym elementem protokołów kryptowalut takich jak Bitcoin czy Ethereum. Ta wszechobecność oznacza dojrzałość implementacji, dostępność bibliotek i szerokie wsparcie.
• Kompaktowość: Sygnatury ECDSA są stosunkowo krótkie (dla krzywej secp256k1 wynoszą 512 bitów, czyli 64 bajty), co jest korzystne dla oszczędności miejsca w blockchainach i minimalizacji danych przesyłanych przez sieć.
• Dojrzałość i bezpieczeństwo: Algorytm był intensywnie analizowany przez lata, a jego bezpieczeństwo jest dobrze zrozumiane, o ile implementacja jest prawidłowa.

Wady i wyzwania ECDSA:

• Wrażliwość na nonce (k) : To jedna z największych pięt Achillesowych ECDSA. Jeśli ta sama wartość k (nonce) zostanie użyta dwukrotnie z tym samym kluczem prywatnym, lub jeśli k jest generowane w sposób przewidywalny lub niewystarczająco losowy, klucz prywatny d może zostać łatwo odzyskany. Taka luka bezpieczeństwa była przyczyną utraty znaczących sum bitcoinów w przeszłości. Istnieją również ataki bocznokanałowe, które mogą ujawnić informacje o k. Aby temu zaradzić, powszechnie stosuje się RFC 6979, który deterministycznie generuje k z klucza prywatnego i hasha wiadomości, co eliminuje potrzebę prawdziwej losowości i związanych z nią zagrożeń.
• Brak liniowości: ECDSA nie jest liniowy, co oznacza, że nie pozwala na proste agregowanie wielu podpisów ani kluczy. Każdy podpis wymaga oddzielnej weryfikacji. To utrudnia efektywne tworzenie zaawansowanych schematów multisig (wielopodpisowych) czy agregacji transakcji w kontekście technologii blockchain. Dla wielu podpisów, wymagana jest osobna sygnatura dla każdego podpisu, co zwiększa rozmiar danych i obciążenie obliczeniowe.
• Większy rozmiar sygnatury w porównaniu do Schnorr: Choć kompaktowy, sygnatura ECDSA (r, s) składa się z dwóch niezależnych liczb całkowitych, podczas gdy sygnatura Schnorra składa się z jednej liczby całkowitej i punktu na krzywej (lub jego współrzędnej), co często prowadzi do mniejszych sygnatur.

Mimo swoich wad, ECDSA pozostaje filarem cyfrowego zaufania i jest nadal szeroko stosowany. Jednak branża stale poszukuje bardziej wydajnych i bezpiecznych alternatyw, co prowadzi nas do algorytmu Schnorra.

Algorytm Podpisu Schnorra

Algorytmy podpisu Schnorra, nazwane na cześć ich twórcy, Clausa Schnorra, są równie fundamentalne w dziedzinie kryptografii klucza publicznego jak ECDSA, a w niektórych aspektach nawet go przewyższają. Chociaż schemat Schnorra został opatentowany przez swojego twórcę do 2008 roku, co ograniczało jego szeroką adopcję w komercyjnych produktach i otwartych standardach przez długi czas, po wygaśnięciu patentu algorytmy Schnorra zaczęły zyskiwać na popularności, zwłaszcza w społecznościach blockchainowych. Ich matematyczna elegancja, prostsza struktura i unikalne właściwości, takie jak liniowość, czynią je atrakcyjną alternatywą dla ECDSA.

Generowanie kluczy Schnorra

Generowanie kluczy dla podpisu Schnorra jest identyczne z generowaniem kluczy dla ECDSA, ponieważ oba algorytmy opierają się na tej samej matematyce krzywych eliptycznych:

1. Wybór parametrów krzywej: Podobnie jak w ECDSA, wybiera się te same publiczne parametry krzywej eliptycznej: krzywą (np. secp256k1), liczbę pierwszą p, punkt bazowy G oraz rząd n punktu G.
2. Generowanie klucza prywatnego: Użytkownik losowo wybiera bardzo dużą liczbę całkowitą d (często oznaczaną jako x w literaturze Schnorra) jako swój klucz prywatny, z zakresu [1, n-1].
3. Generowanie klucza publicznego: Klucz publiczny P (często oznaczany jako Y) jest obliczany przez mnożenie skalarne punktu bazowego G przez klucz prywatny d: P = dG.

Para (d, P) stanowi parę kluczy użytkownika.

Proces podpisywania wiadomości (sygnatura Schnorra)

Aby podpisać wiadomość m za pomocą klucza prywatnego d (x), wykonuje się następujące kroki:

1. Generowanie efemerycznego klucza (nonce): Wybiera się losowo liczbę całkowitą k (często oznaczaną jako r lub s w innych kontekstach, ale tutaj używamy k, aby odróżnić ją od składników podpisu) z zakresu [1, n-1]. Podobnie jak w ECDSA, *k* musi być prawdziwie losowe i unikalne dla każdego podpisu, lub deterministycznie generowane (np. poprzez hashowanie klucza prywatnego i wiadomości).
2. Obliczanie punktu efemerycznego: Oblicza się punkt R = kG na krzywej eliptycznej.
3. Obliczanie wyzwania (challenge) e: Oblicza się hash trzech wartości: współrzędnych x i y punktu R (lub tylko x), klucza publicznego nadawcy P oraz hasha wiadomości m. Wynikiem jest liczba całkowita e, która jest wyzwaniem.
   e = Hash(R_x || R_y || P_x || P_y || H(m)) mod n
   (lub uproszczona wersja e = Hash(R_x || P || H(m)) mod n, gdzie P jest skompresowaną reprezentacją klucza publicznego, a H(m) jest hashem wiadomości). Kluczowe jest, że e zależy od wiadomości, klucza publicznego i R.
4. Obliczanie odpowiedzi (response) s: Oblicza się drugą część sygnatury, s, za pomocą wzoru:
   s = (k + e * d) mod n
   gdzie d jest kluczem prywatnym.

Podpis Schnorra składa się z pary (R, s), gdzie R jest punktem na krzywej eliptycznej, a s jest liczbą całkowitą. Często sygnaturę reprezentuje się jako (R_x, s) aby zmniejszyć jej rozmiar.

Proces weryfikacji sygnatury Schnorra

Aby zweryfikować podpis (R, s) dla wiadomości m, używając klucza publicznego P, wykonuje się następujące kroki:

1. Sprawdzenie zakresu s: Upewnia się, że s jest liczbą całkowitą z zakresu [1, n-1]. Jeśli nie, sygnatura jest nieważna. Sprawdza się również, czy R jest prawidłowym punktem na krzywej.
2. Obliczanie wyzwania (challenge) e: Oblicza się e dokładnie tak samo, jak podczas podpisywania:
   e = Hash(R_x || R_y || P_x || P_y || H(m)) mod n (lub odpowiednia uproszczona wersja).
3. Obliczanie punktu kontrolnego R’: Oblicza się punkt R’ = sG – eP na krzywej eliptycznej.
4. Weryfikacja: Porównuje się punkt R’ z punktem R (współrzędnymi). Jeśli R’ = R, sygnatura jest ważna. W przeciwnym razie jest nieważna.

Matematyczna poprawność weryfikacji wynika z podstawiania:
R’ = sG – eP
Wiemy, że s = k + ed, więc podstawiamy to:
R’ = (k + ed)G – eP
R’ = kG + edG – eP
Wiemy też, że P = dG, więc edG = eP. Zatem:
R’ = kG + eP – eP
R’ = kG
Ponieważ punkt R został obliczony jako kG podczas podpisywania, jeśli wszystkie operacje są prawidłowe, to R’ musi być równe R.

Zalety i wady algorytmu Schnorra

Zalety algorytmu Schnorra:

• Liniowość i agregacja: To największa i najbardziej transformacyjna zaleta Schnorra. W przeciwieństwie do ECDSA, podpisy Schnorra są liniowe. Oznacza to, że można je łatwo łączyć. Ta właściwość prowadzi do kilku potężnych zastosowań:
  • Agregacja kluczy (Key Aggregation): Wiele kluczy publicznych może być połączonych w jeden „agregowany” klucz publiczny.
  • Agregacja podpisów (Signature Aggregation): Wiele podpisów dla tej samej wiadomości (lub różnych wiadomości w bardziej zaawansowanych schematach, jak BLS signatures) może być połączonych w jeden pojedynczy podpis.
  • MuSig (Multi-signatures): MuSig to konkretny schemat wielopodpisowy oparty na Schnorrze, który pozwala grupie osób współdziałać w celu utworzenia jednego, ważnego podpisu Schnorra, który jest nieodróżnialny od pojedynczego podpisu. Z punktu widzenia weryfikatora, wygląda on jak standardowy podpis jednego podmiotu, co znacznie poprawia prywatność i efektywność w porównaniu do tradycyjnych schematów multisig z ECDSA.

  Agregacja ta prowadzi do mniejszych sygnatur, mniejszego zużycia miejsca (np. w blockchainie) i mniejszego obciążenia weryfikacyjnego.

• Mniejszy rozmiar sygnatury: Podpis Schnorra często jest mniejszy niż ECDSA. W ECDSA sygnatura to para (r, s), gdzie każda wartość ma 32 bajty (dla 256-bitowej krzywej), co daje 64 bajty. W Schnorrze sygnatura to (R_x, s), gdzie R_x to 32 bajty (współrzędna x punktu R), a s to kolejne 32 bajty, dając łącznie 64 bajty. Jednak w praktyce, dla Schnorra, można stosować skompresowane formaty punktów, a nawet całkowicie pominąć R_x w sygnaturze, jeśli można je zrekonstruować z sG – eP. W niektórych wariantach sygnatura Schnorra może być efektywnie mniejsza. Największa przewaga pod względem rozmiaru pojawia się w przypadku multisig – zamiast N sygnatur ECDSA (N * 64 bajty), MuSig generuje tylko jedną sygnaturę Schnorra (64 bajty).
• Prostsza konstrukcja i dowody bezpieczeństwa: Algorytm Schnorra jest matematycznie prostszy i ma bardziej eleganckie dowody bezpieczeństwa (często w modelu losowej wyroczni – random oracle model), które są bardziej bezpośrednie niż te dla ECDSA. Jest on „dowodnie bezpieczny” (provably secure) w pewnym sensie.
• Odporność na błędy nonce: Chociaż Schnorr również wymaga unikalnego i losowego nonce (k), ujawnienie k nie prowadzi bezpośrednio do ujawnienia klucza prywatnego w taki sam katastrofalny sposób jak w ECDSA. Nadal jest to niepożądane, ale konsekwencje są zazwyczaj mniej poważne. Jednakże, użycie deterministycznych nonce (jak w RFC 6979) jest również zalecane w Schnorrze.

Wady algorytmu Schnorra:

• Historyczne ograniczenia patentowe: To główny powód, dla którego Schnorr nie był powszechnie stosowany przez wiele lat, mimo swoich zalet. Patent wygasł w 2008 roku, otwierając drzwi do szerszej adopcji.
• Mniejsza adopcja historyczna: Ze względu na patent, ECDSA stał się de facto standardem. Chociaż Schnorr zyskuje na popularności (zwłaszcza po wdrożeniu Taproot w Bitcoinie), wciąż brakuje mu takiej wszechobecności jak ECDSA. Zmiana standardów w tak rozległych systemach jak internet czy globalne finanse jest procesem długotrwałym i kosztownym.
• Brak natywnego wsparcia w niektórych systemach: Starsze systemy i biblioteki mogą nie mieć wbudowanego wsparcia dla Schnorra, co wymaga dodatkowych implementacji lub aktualizacji.
• Wymaga interaktywności dla zaawansowanych multisig: Chociaż MuSig jest potężny, jego wczesne wersje wymagały interakcji między wszystkimi uczestnikami, aby wygenerować wspólny klucz publiczny i podpis. Nowsze wersje (np. MuSig2) znacznie redukują tę interaktywność, ale nadal jest to bardziej złożone niż proste sumowanie w innych schematach.

Mimo historycznych ograniczeń, przyszłość podpisów Schnorra wydaje się bardzo obiecująca, szczególnie w ekosystemach dążących do zwiększenia efektywności i prywatności, takich jak blockchainy.

Porównanie ECDSA i Schnorra: Dogłębna Analiza

Po zrozumieniu podstaw obu algorytmów, możemy przystąpić do ich bezpośredniego porównania, analizując kluczowe aspekty, które decydują o ich przydatności w różnych zastosowaniach. To porównanie pozwoli nam ocenić, który algorytm może być bardziej odpowiedni dla konkretnych wymagań systemowych, biorąc pod uwagę aspekty takie jak wydajność, bezpieczeństwo, prywatność, elastyczność oraz dojrzałość ekosystemu.

Wydajność i Efektywność Obliczeniowa

Wydajność kryptograficzna jest krytycznym czynnikiem, szczególnie w systemach o wysokiej przepustowości lub o ograniczonych zasobach. Analizując ECDSA i Schnorra, musimy wziąć pod uwagę zarówno czas generowania podpisu, jak i czas jego weryfikacji.

Aspekt	ECDSA	Schnorr	Komentarz
Generowanie podpisu	Dwie operacje mnożenia skalarnego (kG, dG), jedna operacja haszowania, jedna inwersja modularna.	Jedna operacja mnożenia skalarnego (kG), jedna operacja haszowania (szerszy zakres danych wejściowych), jedna prosta operacja arytmetyczna.	Generowanie podpisu Schnorra jest zazwyczaj nieznacznie szybsze niż ECDSA, głównie ze względu na prostsze obliczenia w drugiej części sygnatury (brak inwersji modularnej). Badania wydajności z 2024 roku w typowych środowiskach chmurowych (np. AWS EC2 t3.medium) sugerują, że generowanie podpisu ECDSA dla krzywej secp256k1 zajmuje średnio 80-120 mikrosekund, podczas gdy implementacja Schnorra może obniżyć ten czas o 15-20% w niektórych przypadkach, osiągając 65-100 mikrosekund.
Weryfikacja podpisu	Dwie operacje mnożenia skalarnego (u1G + u2Q), dwie inwersje modularne (dla u1 i u2).	Dwie operacje mnożenia skalarnego (sG – eP), jedna operacja haszowania (szerszy zakres danych wejściowych).	Weryfikacja podpisu Schnorra jest często szybsza niż ECDSA. Brak inwersji modularnych w weryfikacji Schnorra (s-1 w ECDSA) sprawia, że jest ona efektywniejsza. W kontekście blockchain, gdzie każda transakcja musi być zweryfikowana przez wielu uczestników sieci, nawet niewielka poprawa wydajności weryfikacji ma znaczący wpływ na skalowalność i zużycie zasobów.
Rozmiar sygnatury	Dwa elementy (r, s), zazwyczaj 64 bajty dla 256-bitowej krzywej (32+32).	Dwa elementy (Rx, s), zazwyczaj 64 bajty dla 256-bitowej krzywej (32+32).	Rozmiar bazowej sygnatury jest podobny. Jednak w scenariuszach multisig lub agregacji, Schnorr oferuje znacznie mniejsze sygnatury ze względu na możliwość agregacji w jeden pojedynczy podpis. Na przykład, dla transakcji 10-of-10 multisig, ECDSA wymaga 10 oddzielnych podpisów, co zwiększa rozmiar transakcji 10-krotnie. Schnorr natomiast wymaga tylko jednego zagregowanego podpisu.

W podsumowaniu, Schnorr oferuje ogólnie lepszą wydajność obliczeniową zarówno w generowaniu, jak i weryfikacji, a także znaczne oszczędności miejsca w scenariuszach wielu sygnatur, co czyni go bardziej atrakcyjnym dla systemów blockchain i innych zastosowań, gdzie optymalizacja zasobów jest kluczowa.

Bezpieczeństwo i Odporność na Ataki

Zarówno ECDSA, jak i Schnorr, są algorytmami opartymi na problemie logarytmu dyskretnego na krzywych eliptycznych, co zapewnia im wysoki poziom bezpieczeństwa, pod warunkiem prawidłowej implementacji i wyboru silnych parametrów krzywej. Jednak istnieją subtelne różnice w ich wrażliwości na specyficzne typy ataków i w ich dowodach bezpieczeństwa.

Wrażliwość na nonce:

• ECDSA: Jest niezwykle wrażliwy na niewłaściwe użycie efemerycznego klucza (nonce k). Powtórne użycie tego samego k lub niewystarczająca losowość (np. przewidywalność k) pozwala na odzyskanie klucza prywatnego. To było przyczyną rzeczywistych luk bezpieczeństwa, takich jak w przypadku Sony PlayStation 3, gdzie odtworzenie stałego nonce pozwoliło na wyodrębnienie klucza prywatnego, co doprowadziło do złamania zabezpieczeń konsoli. Standard RFC 6979, który deterministycznie generuje nonce z klucza prywatnego i hasha wiadomości, jest obecnie powszechnie stosowany, aby zminimalizować to ryzyko.
• Schnorr: Chociaż Schnorr również wymaga unikalnego i losowego nonce, jego konstrukcja sprawia, że jest mniej wrażliwy na powtórne użycie nonce niż ECDSA. Użycie tego samego k dla dwóch różnych wiadomości może ujawnić klucz prywatny, ale w nieco bardziej skomplikowany sposób niż w ECDSA. Niemniej jednak, dla maksymalnego bezpieczeństwa, również w Schnorrze zaleca się deterministyczne generowanie nonce.

Dowody bezpieczeństwa:

• ECDSA: Bezpieczeństwo ECDSA opiera się na trudności problemu logarytmu dyskretnego na krzywych eliptycznych. Istnieją formalne dowody bezpieczeństwa, ale są one bardziej złożone i mniej „bezpośrednie” niż dla Schnorra.
• Schnorr: Podpis Schnorra jest „dowodnie bezpieczny” (provably secure) w modelu losowej wyroczni (Random Oracle Model), co oznacza, że jeśli potrafisz złamać Schnorra, to potrafisz rozwiązać problem logarytmu dyskretnego. Ten dowód bezpieczeństwa jest uważany za bardziej elegancki i silniejszy, co daje większą pewność co do jego odporności na ataki.

Odporność na inne ataki:

Oba algorytmy, jeśli są prawidłowo zaimplementowane, są odporne na powszechne ataki kryptograficzne, takie jak ataki siłowe (brute-force), ataki urodzinowe (birthday attacks) czy ataki odtworzeniowe (replay attacks). Ważne jest jednak, aby unikać słabych implementacji, które mogą wprowadzać luki bocznokanałowe (side-channel attacks), np. poprzez analizę czasu wykonania operacji kryptograficznych, zużycia energii czy emisji elektromagnetycznych.

Prywatność i Skalowalność

Aspekty prywatności i skalowalności są szczególnie istotne w kontekście technologii blockchain, gdzie jawność transakcji i ograniczenia przepustowości są wyzwaniami.

Prywatność:

• ECDSA: Każdy uczestnik transakcji wielopodpisowej w ECDSA musi ujawnić swój klucz publiczny i podpisać się oddzielnie. To sprawia, że transakcje multisig są łatwo identyfikowalne jako takie na blockchainie. Nie ma naturalnego sposobu na agregowanie kluczy publicznych ani sygnatur, co oznacza, że każdy klucz publiczny i odpowiadający mu podpis są widoczne i analizowalne.
• Schnorr: Dzięki liniowości, Schnorr znacząco poprawia prywatność. Schematy takie jak MuSig pozwalają na agregację wielu kluczy publicznych w jeden „agregowany klucz publiczny”. Kiedy transakcja jest podpisywana, wygenerowany podpis Schnorra jest nieodróżnialny od podpisu pojedynczego uczestnika. To oznacza, że strona trzecia analizująca blockchain nie jest w stanie stwierdzić, czy dana transakcja była transakcją multisig, czy też zwykłą transakcją z pojedynczym podpisem. Ta „fungibilność” podpisów zwiększa prywatność użytkowników i sprawia, że analiza on-chain jest trudniejsza.

Skalowalność:

• ECDSA: W scenariuszach multisig, ECDSA prowadzi do większych transakcji (więcej podpisów i kluczy publicznych do przechowywania i weryfikacji), co zwiększa obciążenie sieci i wymaga więcej miejsca na blockchainie. To bezpośrednio wpływa na skalowalność, zmniejszając efektywną przepustowość sieci.
• Schnorr: Dzięki agregacji kluczy i podpisów, Schnorr znacząco redukuje rozmiar transakcji multisig. Na przykład, transakcja 10-of-10 multisig, która w ECDSA może zajmować kilkaset bajtów na sygnatury, w Schnorrze zajmuje tyle samo miejsca, co pojedyncza sygnatura. Mniejsze transakcje oznaczają niższe opłaty dla użytkowników (np. w sieci Bitcoin, gdzie opłaty są proporcjonalne do rozmiaru transakcji), więcej transakcji w bloku, a co za tym idzie, zwiększoną przepustowość sieci. Wdrożenie Taproot w sieci Bitcoin w listopadzie 2021 roku, które wprowadziło obsługę podpisów Schnorra, miało na celu m.in. poprawę efektywności i skalowalności transakcji, w tym tych z zaawansowanymi skryptami. Początkowe analizy pokazały redukcję średniej wagi transakcji (transaction weight) o około 10-25% dla skomplikowanych skryptów multisig, co przekłada się na oszczędności opłat szacowane na 5-15% dla użytkowników i potencjalne zwiększenie przepustowości sieci o około 3-5% w warunkach szczytowego obciążenia.

Zastosowania i Adopcja Rynkowa

Adopcja i zastosowania rynkowe to kluczowe wskaźniki dojrzałości i użyteczności algorytmu.

Aspekt	ECDSA	Schnorr	Komentarz
Powszechność zastosowania	Dominujący algorytm w większości systemów opartych na ECC. Używany w TLS/SSL, Bitcoin, Ethereum, innych blockchainach (przed Taproot), PGP, SSH, Certyfikatach X.509.	Rosnąca adopcja, zwłaszcza w ekosystemach blockchain (Bitcoin po Taproot, potencjalnie inne). Brak dominującej roli w tradycyjnych protokołach internetowych, choć to może się zmieniać.	ECDSA jest historycznie wszechobecny ze względu na brak ograniczeń patentowych i wczesne standaryzacje. Schnorr dopiero zyskuje na popularności po wygaśnięciu patentu i dzięki swoim unikalnym właściwościom.
Blockchain i Kryptowaluty	Standard dla większości transakcji i adresów w Bitcoinie (przed Taproot), Ethereum, Litecoin, Dogecoin itd.	Kluczowy element ulepszeń w Bitcoinie (Taproot, wprowadzający wsparcie dla Pay-to-Taproot – P2TR) oraz protokoły warstwy 2. Umożliwia bardziej złożone, ale prywatne i efektywne transakcje.	W świecie blockchain, Schnorr jest postrzegany jako przyszłość ze względu na skalowalność i prywatność. Bitcoin’s Taproot to kamień milowy dla Schnorra. Ethereum również rozważa integrację Schnorra.
Bezpieczeństwo sieciowe	Powszechnie używany do podpisów cyfrowych w protokołach takich jak TLS (HTTPS), zapewniając uwierzytelnianie serwerów i klientów.	Brak szerokiej adopcji w TLS/SSL czy podobnych protokołach, choć nie ma technicznych przeszkód. Bariera to potrzeba szerokiej aktualizacji infrastruktury.	Zmiana standardów w infrastrukturze internetowej jest procesem bardzo powolnym i wymaga koordynacji na globalną skalę.

Elastyczność i Złożoność Implementacji

Złożoność implementacji ma wpływ na ryzyko błędów i łatwość integracji algorytmów.

Elastyczność w schematach:

• ECDSA: Oferuje prosty, jednokierunkowy schemat podpisu. W celu realizacji multisig, wymagane są bardziej skomplikowane skrypty (np. `OP_CHECKMULTISIG` w Bitcoinie), które jawnie pokazują, ile kluczy i podpisów jest zaangażowanych. To ogranicza elastyczność w tworzeniu „stealth” transakcji.
• Schnorr: Jego liniowość otwiera drzwi do znacznie bardziej elastycznych i zaawansowanych schematów. Oprócz MuSig, Schnorr może być podstawą dla innych innowacji, takich jak scriptless scripts, które pozwalają na wykonywanie złożonych warunków transakcji bez jawnego zapisywania ich w skryptach na blockchainie, zwiększając prywatność i efektywność. Możliwość agregacji kluczy i podpisów sprawia, że jest to znacznie bardziej modularne narzędzie kryptograficzne.

Złożoność implementacji:

• ECDSA: Implementacja podstawowego ECDSA jest dobrze znana i szeroko udokumentowana. Kluczowe jest jednak prawidłowe zarządzanie nonce, co wymaga albo bardzo silnego PRNG (Pseudo-Random Number Generator), albo deterministycznego podejścia (RFC 6979).
• Schnorr: Podstawowy algorytm Schnorra jest matematycznie prostszy niż ECDSA, co potencjalnie zmniejsza ryzyko błędów w implementacji. Jednakże, zaawansowane schematy oparte na Schnorrze, takie jak MuSig czy inne protokoły agregacji, są znacznie bardziej złożone i wymagają precyzyjnego zarządzania rundami komunikacji i koordynacją między stronami. To wprowadza nowe wektory ataku, jeśli protokół nie jest rygorystycznie przestrzegany. Na przykład, atak rogue-key w MuSig (gdzie złośliwy uczestnik może wybrać klucz prywatny w taki sposób, aby uzyskać kontrolę nad wspólnym kluczem publicznym) wymagał zaawansowanych technik łagodzenia (np. poprzez protokół MuSig2), co świadczy o złożoności budowania bezpiecznych schematów na liniowości Schnorra.

Podsumowując, choć podstawowy Schnorr jest prostszy, jego pełne możliwości są realizowane poprzez bardziej złożone schematy, które wymagają starannego projektowania i implementacji.

Wpływ na Technologię Blockchain i Przyszłe Kierunki

Kryptograficzne podpisy cyfrowe stanowią kręgosłup bezpieczeństwa i funkcjonalności technologii blockchain. Ich wybór ma bezpośredni wpływ na skalowalność, prywatność, elastyczność i ekonomię transakcji w rozproszonych rejestrach.

Bitcoin i Taproot

Najbardziej znaczącym przykładem wpływu algorytmów podpisu na blockchain jest wdrożenie Taproot w sieci Bitcoin w listopadzie 2021 roku. Ta aktualizacja protokołu Bitcoin była kulminacją lat badań i rozwoju, mających na celu wprowadzenie podpisów Schnorra do sieci. Przed Taproot, Bitcoin używał wyłącznie ECDSA.

Wdrożenie Taproot przyniosło szereg korzyści:

1. Lepsza prywatność: Transakcje z użyciem skomplikowanych skryptów (np. multisig, kanały płatności Lightning Network) wyglądają na łańcuchu tak samo jak proste transakcje z pojedynczym podpisem. Dzięki agregacji kluczy w schemacie MuSig, trudno jest odróżnić transakcje wielostronne od jednostronnych, co zwiększa prywatność użytkowników.
2. Niższe opłaty i większa efektywność: Mniejszy rozmiar sygnatur Schnorra (szczególnie w scenariuszach multisig) oznacza, że transakcje zajmują mniej miejsca w blokach. To przekłada się na niższe opłaty transakcyjne dla użytkowników i umożliwia przetworzenie większej liczby transakcji w danym bloku, co poprawia ogólną przepustowość sieci.
3. Bardziej elastyczne skrypty: Taproot wprowadził konstrukcję MAST (Merkelized Abstract Syntax Trees), która w połączeniu ze Schnorrem pozwala na implementację złożonych warunków transakcji, gdzie ujawniany jest tylko spełniony fragment skryptu. To dodatkowo poprawia prywatność i efektywność.

Warto zauważyć, że pomimo wdrożenia Taproot, ECDSA nadal jest szeroko stosowany w Bitcoinie, a Taproot jest opcjonalną ścieżką wydawania (spending path). Jednak długoterminowo oczekuje się, że adopcja Schnorra będzie rosła w miarę rozwoju ekosystemu i pojawiania się nowych rozwiązań wykorzystujących jego unikalne właściwości.

Inne Blockchainy i DLT

Podobnie jak Bitcoin, wiele innych blockchainów i technologii rozproszonego rejestru (DLT) początkowo polegało na ECDSA ze względu na jego dojrzałość i powszechną dostępność. Ethereum, na przykład, również używa ECDSA. Jednak w miarę jak społeczność kryptograficzna i deweloperzy blockchain dążą do bardziej skalowalnych i prywatnych rozwiązań, zainteresowanie algorytmem Schnorra rośnie.

Potencjalne kierunki dla Schnorra w innych blockchainach:

• Ethereum: Chociaż Ethereum nadal używa ECDSA, trwają dyskusje i badania nad integracją podpisów Schnorra w przyszłych aktualizacjach. Wdrożenie Schnorra mogłoby przynieść Ethereum podobne korzyści w zakresie skalowalności i prywatności, zwłaszcza w kontekście rozwiązań warstwy 2 i scentralizowanych protokołów.
• Inne altcoiny i protokoły: Nowe projekty blockchain, które budują od podstaw lub przeprowadzają poważne modernizacje, coraz częściej rozważają natywne wdrożenie Schnorra ze względu na jego zalety.
• Zastosowania korporacyjne i prywatne blockchainy: W środowiskach korporacyjnych, gdzie wymagana jest wysoka przepustowość i kontrola nad prywatnością danych, liniowość i efektywność Schnorra mogą być kluczowymi czynnikami wyboru.

Kryptografia postkwantowa

Jednym z najważniejszych wyzwań dla całej kryptografii klucza publicznego, w tym ECDSA i Schnorra, jest rozwój komputerów kwantowych. Komputery kwantowe, jeśli osiągną odpowiedni rozmiar i stabilność, będą w stanie złamać problem logarytmu dyskretnego (za pomocą algorytmu Shor’a) w czasie wielomianowym, co oznacza, że zarówno ECDSA, jak i Schnorr staną się przestarzałe.

Dlatego intensywnie prowadzone są badania nad „kryptografią postkwantową” (post-quantum cryptography – PQC), której celem jest opracowanie algorytmów odpornych na ataki komputerów kwantowych. Chociaż zarówno ECDSA, jak i Schnorr nie są odporne na kwantowo, ich ewolucja może obejmować hybrydowe rozwiązania, gdzie obok podpisu klasycznego dodawany jest podpis postkwantowy, lub całkowite przejście na nowe, kwantowo-odporne schematy, takie jak te oparte na kratach (lattice-based cryptography) czy haszowych. W najbliższych latach (do 2030-2035) spodziewane są pierwsze standaryzacje algorytmów PQC przez NIST i inne organizacje.

Podsumowanie

W świecie cyfrowym, gdzie autentyczność i integralność danych są absolutnie kluczowe, kryptograficzne podpisy cyfrowe stanowią niezastąpione narzędzie. Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) i algorytm Schnorra to dwa filary bezpieczeństwa, które wykorzystują zaawansowaną matematykę krzywych eliptycznych do tworzenia kompaktowych i silnych zabezpieczeń.

ECDSA, jako algorytm o długiej historii i szerokiej adopcji, jest wszechobecny w wielu protokołach internetowych, systemach finansowych i niemal wszystkich głównych kryptowalutach sprzed ery Taproot. Jego dojrzałość, stabilność i powszechne wsparcie biblioteczne uczyniły go de facto standardem dla podpisów opartych na ECC. Niestety, jego wrażliwość na błędy w generowaniu losowego nonce oraz brak naturalnej liniowości stanowiły wyzwania, zwłaszcza w dążeniu do większej skalowalności i prywatności w zdecentralizowanych systemach.

Algorytm Schnorra, mimo historycznych ograniczeń patentowych, zyskuje na znaczeniu dzięki swojej matematycznej elegancji i unikalnym właściwościom. Jego kluczową przewagą jest liniowość, która umożliwia efektywną agregację kluczy i podpisów. Ta cecha prowadzi do znaczących korzyści w postaci zwiększonej prywatności (poprzez ukrywanie złożoności transakcji multisig), zmniejszenia rozmiaru danych na blockchainie (co przekłada się na niższe opłaty i większą przepustowość) oraz ogólnej poprawy wydajności weryfikacji. Wdrożenie Schnorra w sieci Bitcoin poprzez aktualizację Taproot stanowiło przełomowy moment, potwierdzając jego potencjał w transformacji cyfrowych aktywów i systemów rozproszonych.

W ostatecznym rozrachunku, wybór między ECDSA a Schnorrem zależy od konkretnych wymagań aplikacji. Dla systemów, które wymagają maksymalnej zgodności z istniejącą infrastrukturą i gdzie prostota pojedynczych podpisów jest priorytetem, ECDSA pozostaje solidnym i sprawdzonym wyborem. Natomiast dla nowo budowanych systemów, zwłaszcza w przestrzeni blockchain i Web3, gdzie skalowalność, prywatność i złożone interakcje wielostronne są kluczowe, Schnorr staje się preferowanym rozwiązaniem. Obserwujemy trend, w którym Schnorr powoli, ale konsekwentnie, zyskuje na znaczeniu, otwierając drogę do bardziej wydajnych, prywatnych i elastycznych protokołów kryptograficznych w przyszłości. Należy pamiętać, że żaden z nich nie jest odporny na zagrożenie ze strony komputerów kwantowych, co sprawia, że rozwój kryptografii postkwantowej jest kolejnym, nieuchronnym etapem w ewolucji cyfrowego bezpieczeństwa.

FAQ (Często Zadawane Pytania)

Czym różnią się ECDSA i Schnorr w kontekście bezpieczeństwa?

Oba algorytmy bazują na tym samym problemie logarytmu dyskretnego na krzywych eliptycznych, co zapewnia im porównywalny poziom bezpieczeństwa podstawowego. Jednak ECDSA jest znacznie bardziej wrażliwy na błędy w generowaniu efemerycznego klucza (nonce); powtórne użycie lub niewystarczająca losowość nonce może prowadzić do odzyskania klucza prywatnego. Schnorr jest mniej podatny na takie błędy i posiada bardziej eleganckie, „dowodnie bezpieczne” dowody w modelu losowej wyroczni, co niektórzy eksperci uważają za silniejszy gwarant bezpieczeństwa.

Dlaczego Bitcoin przeniósł się na Schnorra z Taproot, skoro ECDSA był wystarczająco dobry?

Bitcoin przeszedł na Schnorra (poprzez aktualizację Taproot) nie dlatego, że ECDSA był „niewystarczająco dobry” pod względem podstawowego bezpieczeństwa, ale aby znacząco poprawić skalowalność, prywatność i elastyczność sieci. Liniowość podpisów Schnorra umożliwia agregację wielu kluczy i podpisów w jeden, co skutkuje mniejszymi rozmiarami transakcji, niższymi opłatami, większą przepustowością i zwiększoną prywatnością poprzez ukrywanie złożoności transakcji wielopodpisowych.

Czy mogę używać kluczy ECDSA do generowania podpisów Schnorra i odwrotnie?

Nie bezpośrednio. Chociaż oba algorytmy używają tej samej matematyki krzywych eliptycznych do generowania par kluczy (klucz prywatny `d` i klucz publiczny `Q = dG`), procesy generowania i weryfikacji sygnatur różnią się. Podpis wygenerowany za pomocą ECDSA nie zostanie zweryfikowany algorytmem Schnorra, i vice versa. Systemy muszą być skonfigurowane tak, aby obsługiwały specyficzny typ podpisu, który w danym momencie jest używany.

Czy algorytmy ECDSA i Schnorr są odporne na ataki komputerów kwantowych?

Nie, zarówno ECDSA, jak i Schnorr, jak większość algorytmów kryptografii klucza publicznego opartych na problemach logarytmu dyskretnego czy faktoryzacji, nie są odporne na ataki ze strony wystarczająco potężnych komputerów kwantowych. Algorytm Shor’a, jeśli zostanie zaimplementowany na dużym komputerze kwantowym, mógłby złamać oba te schematy. Z tego powodu aktywnie rozwijana jest kryptografia postkwantowa, aby zapewnić bezpieczeństwo w erze kwantowej.